Зачёт.Ru
База готовых студенческих работ
Решебник типового расчета, Алгебра и геометрия, 2 семестр для студентов очной формы обучения институтов ИТ и РТС, Физико-технологического института, МИРЭА
МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
2 семестр
Для студентов очной формы обучения институтов РТС, ИТ, Физико-технологического института
Типовой расчёт
Список решенных вариантов данного типового расчёта вы можете посмотреть ниже:
Задание:
Задачи по теме «Комплексные числа»
Задача 2.1. Выполнить действия с комплексными числами. Ответ представить в алгебраической форме.
Задача 2.2. Найти все корни уравнения и изобразить их на комплексной плоскости.
Задача 2.3. Разложить многочлен на линейные множители.
Задача 2.4. Разложить многочлен на линейные множители, если известен один корень z0.
Задачи по теме «Линейные пространства»
Задача 2.5. Векторы a, b, c, d заданы своими координатами в каноническом базисе i, j, k линейного пространства V3. Показать, что векторы a, b, c образуют базис пространства V3. Найти разложение вектора d по этому базису. Сделать проверку.
Задача 2.6. Является ли множество L={(x1, x2, x3)} векторов заданного вида линейным подпространством в R3 ? Если да, то найти базис и размерность этого подпространства. Дополнить базис подпространства L до базиса всего пространства R3. Выписать матрицу перехода от канонического базиса пространства R3 к построенному базису.
Задача 2.7. Проверить, что множество многочленов L={p(t)} заданного вида с вещественными коэффициентами образует линейное подпространство в линейном пространстве P2 многочленов степени не выше 2. Найти размерность и базис L, дополнить его до базиса всего пространства P2. Найти координаты многочлена h(t)∈L в базисе подпространства L.
Задача 2.8. Доказать, что множество М матриц заданного вида является линейным подпространством в линейном пространстве квадратных матриц второго порядка M2×2. Построить базис и найти размерность подпространства M.
Задачи по теме «Линейные операторы»
Задача 2.9. Линейный оператор A в базисе (e1, e2, e3) задан матрицей A. Найти матрицу оператора A в базисе (f1, f2, f3).
Задача 2.10. Оператор A действует в пространстве R3, x=(x1, x2, x3)∈R3. Проверить, является ли оператор A линейным. В случае линейности записать матрицу оператора A в каноническом базисе пространства R3.
Задача 2.11. Для линейного оператора A из задачи 2.10 определить, является ли оператор A обратимым? Если да, то найти матрицу обратного оператора A в каноническом базисе пространства R3, сделать проверку.
Найти образ вектора x=(-1, 2, 3). Найти ядро линейного оператора A. Является ли вектор x=(0,1,0) собственным вектором оператора A ?
Задача 2.12. Определить собственные значения и собственные векторы линейного оператора A, заданного матрицей A. Является ли линейный оператор A оператором простого типа? Если является, то записать матрицу линейного оператора A в базисе из собственных векторов.
Задача 2.13. Пусть A – линейный оператор в пространстве V3.
a) Найти матрицу линейного оператора A в базисе {i, j, k}.
b) Найти образ вектора a.
c) Найти ядро и образ оператора A.
d) Является ли оператор A обратимым? Если да, описать его действие.
e) Найти собственные значения и собственные векторы оператора A.
Задача 2.14. В пространстве P2 многочленов степени не выше 2 задан оператор A
a) Показать линейность оператора A.
b) Найти матрицу линейного оператора A в каноническом базисе пространства P2.
c) Найти образ многочлена p(t).
d) Найти ядро линейного оператора A.
e) Существует ли обратный оператор?
Задача 2.15.* Оператор A действует в пространстве P2 многочленов степени не выше 2.
a) Показать линейность оператора A.
b) Найти матрицу линейного оператора A в каноническом базисе пространства P2.
c) Найти образ многочлена p(t).
d) Найти ядро линейного оператора A.
e) Существует ли обратный оператор?
(Задача не является обязательной. Вводится в типовой расчет по указанию преподавателя).
Задачи по теме «Квадратичные формы. Евклидово пространство»
Задача 2.16. Задана квадратичная форма φ(x).
а) Привести φ(x) к каноническому виду методом Лагранжа, выписать преобразование координат.
б) Найти положительный и отрицательный индексы, ранг квадратичной формы φ(x).
в) Исследовать φ(x) на знакоопределенность двумя способами: по каноническому виду и по критерию Сильвестра.
Задача 2.17. Дана матрица Грама скалярного произведения G в базисе {e1,e2}. Найти:
‒ длины базисных векторов {e1,e2};
‒ угол между базисными векторами {e1,e2};
‒ длины заданных векторов x и y;
‒ угол между векторами x и y.
Ортогонализовать базис {e1,e2}. Сделать проверку с помощью матрицы перехода.
Задача 2.18.* Дана матрица G квадратичной формы φ(x) в базисе S={e1, e2 ,e3}.
а) Показать, что матрица G является матрицей Грама.
b) Найти длины базисных векторов и углы между ними.
c) Найти длины векторов x=(1,2, 3) и y=(2,-1,2) и угол между ними.
d) Найти матрицу Грама квадратичной формы φ(x) в базисе S1={f1, f2, f3}.
(Задача не является обязательной. Включается в типовой расчет по указанию преподавателя).
МатМозг 7 августа, 2019
Posted In: Алгебра, Геометрия, Математика, МГТУ МИРЭА, Платные работы, Типовой расчет
