Решебник контрольного задания по Математическому Анализу, III семестр, Кибернетика, МГТУ МИРЭА

Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
III семестр
Контрольные задания для студентов факультета Кибернетики

Контрольные задания по теме: «РЯДЫ»

Список решенных вариантов данного контрольного задания вы можете посмотреть ниже:

Задание:

ЗАДАЧА 1 (а, б). Исследовать на сходимость числовые ряды.

ЗАДАЧА 2. Исследовать знакочередующийся ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_{n}$ на абсолютную и условную сходимость.

ЗАДАЧА 3. Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости.

ЗАДАЧА 4 (а, б). Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора по степеням (x-x₀). Указать область сходимости полученного ряда. Найти f⁽^k)(x₀), если k=100+№ варианта.

ЗАДАЧА 5. Используя признак Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость функционального ряда на указанном промежутке.

ЗАДАЧА 6.
а) Разложить функцию y=f(x), заданную на полупериоде (0,l), в ряд Фурье по косинусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм. Написать равенство Парсеваля для полученного ряда. Сумму какого числового ряда можно отыскать с помощью полученного равенства ?
б) Разложить функцию y=f(x), заданную на полупериоде (0,l), в ряд Фурье по синусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.
в) Разложить функцию y=f(x) в ряд Фурье, продолжая ее на полупериод (-l,0) функцией, равной 0. Построить графики второй, четвертой, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.

ЗАДАЧА 7. Методом Фурье найти решение уравнения колебаний струны

$\displaystyle\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$

длины l=2, закрепленной на концах: u(0,t)=u(2,t)=0 и удовлетворяющей следующим начальным условиям:

u(x,0)=f(x),
$\displaystyle\frac{\partial u(x,0)}{\partial t}=\varphi (x)$

ЗАДАЧА 8. Найти приближенное решение задачи Коши

$a(x){y}''+b(x){y}'+c(x)y=f(x);$
$y(0)=0; {y}'(0)=0.$

Решение задачи Коши ищется в виде степенного ряда $\sum_{k=0}^{\infty }C_k x^{k}$ , коэффициенты которого вычисляются последовательно. Ограничиваясь суммой $\sum_{k=0}^{N}C_k x^{k}$ , содержащей N+1 членов ряда, получаем приближенное решение. Оценка погрешности этого решения в работе облегчается тем, что получающиеся степенные ряды – знакочередующиеся. Требуется, чтобы эта погрешность не превосходила 0,001 при x∈[0,x₀].

ЗАДАЧА 9. Приближенно вычислить определенный интеграл

$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx$

Для вычисления интеграла функцию f(x) разлагают на отрезке интегрирования в степенной ряд, который интегрируют почленно. Ограничившись несколькими первыми слагаемыми полученного таким образом числового ряда, имеем приближенное значение интеграла. В работе погрешность приближения не должна превышать 0,0001, и оценка этой погрешности упрощается по тем же причинам, что и в задаче 8.

ЗАДАЧА 10*. (по усмотрению преподавателя)
а) Найти преобразование Фурье (спектральную плотность S(u)) следующих функций (сигналов).
б) Продолжить периодически функцию (сигнал) с интервала [0, T] (или [-T/2, T/2], см. рисунок) на всю числовую прямую, разложить в ряд Фурье. Построить графики второй и третьей частичных сумм.

МатМозг 23 ноября, 2018

Posted In: Контрольное задание, Матанализ, Математика, МГТУ МИРЭА, Ряды

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5	Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
Вариант 11	Вариант 12	Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15	Вариант 16	Вариант 17	Вариант 18	Вариант 19	Вариант 20
Вариант 21	Вариант 22	Вариант 23	Вариант 24	Вариант 25	Вариант 26	Вариант 27	Вариант 28	Вариант 29	Вариант 30