Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
III семестр
Контрольные задания для студентов факультета Кибернетики
Контрольные задания по теме: «РЯДЫ»
Список решенных вариантов данного контрольного задания вы можете посмотреть ниже:
Задание:
ЗАДАЧА 1 (а, б). Исследовать на сходимость числовые ряды.
ЗАДАЧА 2. Исследовать знакочередующийся ряд на абсолютную и условную сходимость.
ЗАДАЧА 3. Найти интервал сходимости степенного ряда. Исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости.
ЗАДАЧА 4 (а, б). Разложить функцию f(x) в ряд Тейлора по степеням (x-x0). Указать область сходимости полученного ряда. Найти f(k)(x0), если k=100+№ варианта.
ЗАДАЧА 5. Используя признак Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость функционального ряда на указанном промежутке.
ЗАДАЧА 6.
а) Разложить функцию y=f(x), заданную на полупериоде (0,l), в ряд Фурье по косинусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм. Написать равенство Парсеваля для полученного ряда. Сумму какого числового ряда можно отыскать с помощью полученного равенства ?
б) Разложить функцию y=f(x), заданную на полупериоде (0,l), в ряд Фурье по синусам. Построить графики второй, третьей, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.
в) Разложить функцию y=f(x) в ряд Фурье, продолжая ее на полупериод (-l,0) функцией, равной 0. Построить графики второй, четвертой, десятой частичных сумм. Указать тип сходимости полученного ряда.
ЗАДАЧА 7. Методом Фурье найти решение уравнения колебаний струны
длины l=2, закрепленной на концах: u(0,t)=u(2,t)=0 и удовлетворяющей следующим начальным условиям:
u(x,0)=f(x),
ЗАДАЧА 8. Найти приближенное решение задачи Коши
Решение задачи Коши ищется в виде степенного ряда , коэффициенты которого вычисляются последовательно. Ограничиваясь суммой , содержащей N+1 членов ряда, получаем приближенное решение. Оценка погрешности этого решения в работе облегчается тем, что получающиеся степенные ряды – знакочередующиеся. Требуется, чтобы эта погрешность не превосходила 0,001 при x∈[0,x0].
ЗАДАЧА 9. Приближенно вычислить определенный интеграл
Для вычисления интеграла функцию f(x) разлагают на отрезке интегрирования в степенной ряд, который интегрируют почленно. Ограничившись несколькими первыми слагаемыми полученного таким образом числового ряда, имеем приближенное значение интеграла. В работе погрешность приближения не должна превышать 0,0001, и оценка этой погрешности упрощается по тем же причинам, что и в задаче 8.
ЗАДАЧА 10*. (по усмотрению преподавателя)
а) Найти преобразование Фурье (спектральную плотность S(u)) следующих функций (сигналов).
б) Продолжить периодически функцию (сигнал) с интервала [0, T] (или [-T/2, T/2], см. рисунок) на всю числовую прямую, разложить в ряд Фурье. Построить графики второй и третьей частичных сумм.
МатМозг 23 ноября, 2018
Posted In: Контрольное задание, Матанализ, Математика, МГТУ МИРЭА, Ряды