Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

I курс

Контрольные задания для студентов факультета Кибернетики

Типовой расчёт №2

Решебник типового расчета №2, Алгебра и геометрия, I курс для студентов факультета Кибернетики, МИРЭАРешебник типового расчета №2, Алгебра и геометрия, I курс для студентов факультета Кибернетики, МИРЭАРешебник типового расчета №2, Алгебра и геометрия, I курс для студентов факультета Кибернетики, МИРЭАРешебник типового расчета №2, Алгебра и геометрия, I курс для студентов факультета Кибернетики, МИРЭАРешебник типового расчета №2, Алгебра и геометрия, I курс для студентов факультета Кибернетики, МИРЭАРешебник типового расчета №2, Алгебра и геометрия, I курс для студентов факультета Кибернетики, МИРЭА

Список решенных вариантов данного задания вы можете посмотреть ниже:

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6 Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9 Вариант 10
Вариант 11 Вариант 12 Вариант 13 Вариант 14 Вариант 15 Вариант 16 Вариант 17 Вариант 18 Вариант 19 Вариант 20
Вариант 21 Вариант 22 Вариант 23 Вариант 24 Вариант 25 Вариант 26 Вариант 27 Вариант 28 Вариант 29 Вариант 30

Задание:

Задача 1. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы уравнений.

Задача 2. Найти общее решение в зависимости от значения параметра λ. При каких значениях λ система допускает решение с помощью обратной матрицы?

Задача 3. Линейный оператор  Â: V3→V3 определяется действием отображения α  на концы радиус-векторов точек трехмерного пространства.
1) Найти матрицу оператора  в подходящем базисе пространства V3, а затем в каноническом базисе \left \{ \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right \}.
2) Определить, в какую точку переходят точки с координатами  и  под действием отображения (1, 0, 0) и (-1, 2, 1) под действием отображения α.

Задача 4. Пусть A – матрица оператора  из задачи 3 в каноническом базисе \left \{ \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right \}. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы A. Объясните, как полученный результат связан с геометрическим действием оператора Â.

Задача 5.
1) Доказать, что оператор  является линейным оператором в пространстве Pn многочленов степени не выше n.
2) Найти матрицу оператора  в каноническом базисе Pn.
3) Существует ли обратный оператор Â-1 ? Если да, найти его матрицу.
4) Найти образ, ядро, ранг и дефект оператора Â.

Задача 6. Оператор  действует на матрицы, образующие линейное подпространство M в пространстве матриц второго порядка.
1) Доказать, что  – линейный оператор в M.
2) Найти матрицу оператора  в каком-нибудь базисе M.
3) Найти образ, ядро, ранг и дефект оператора Â.
4) Найти собственные значения и собственные векторы оператора  (напомним, что в этой задаче векторами являются матрицы).
5) Доказать, что оператор  является оператором простого типа. Выписать матрицу оператора  в собственном базисе.

Задача 7. В пространстве V3 геометрических векторов с обычным скалярным произведением векторы базиса S=\left \{ \overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}} \right \} заданы координатами в каноническом базисе \left \{ \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right \}.
1) Найти матрицу Грама GS скалярного произведения в этом базисе. Выписать формулу для длины вектора через его координаты в базисе S.
2) Ортогонализовать базис S. Сделать проверку ортонормированности построенного базиса P двумя способами:
а) выписав координаты векторов из P в базисе \left \{ \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right \};
б) убедившись, что преобразование матрицы Грама при переходе от базиса S к базису P (по формуле GP=GT·GS·C) приводит к единичной матрице.

Задача 8. Дана квадратичная форма Q\left (\overrightarrow{x} \right ).
1) Привести Q\left (\overrightarrow{x} \right ) к каноническому виду методом Лагранжа. Записать соответствующее преобразование переменных.
2) Привести Q\left (\overrightarrow{x} \right ) к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования, выписать матрицу перехода.
3) Убедиться в справедливости закона инерции квадратичных форм на примере преобразований, полученных в пунктах 1 и 2.
4) Поверхность второго порядка σ задана в прямоугольной декартовой системе координат уравнением Q\left (\overrightarrow{x} \right )=\alpha. Определить тип поверхности σ и написать ее каноническое уравнение.

Июль 10th, 2017

Posted In: Алгебра, Геометрия, Линейная алгебра, Математика, МГТУ МИРЭА, Платные работы, Типовой расчет

Метки: