Решебник типового расчета №2, Алгебра и геометрия, I курс для студентов факультета Кибернетики, МИРЭА

Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

I курс

Контрольные задания для студентов факультета Кибернетики

Типовой расчёт №2

Список решенных вариантов данного задания вы можете посмотреть ниже:

Задание:

Задача 1. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы уравнений.

Задача 2. Найти общее решение в зависимости от значения параметра λ. При каких значениях λ система допускает решение с помощью обратной матрицы?

Задача 3. Линейный оператор  Â: V³→V³ определяется действием отображения α  на концы радиус-векторов точек трехмерного пространства.
1) Найти матрицу оператора  в подходящем базисе пространства V³, а затем в каноническом базисе .
2) Определить, в какую точку переходят точки с координатами  и  под действием отображения (1, 0, 0) и (-1, 2, 1) под действием отображения α.

Задача 4. Пусть A – матрица оператора  из задачи 3 в каноническом базисе . Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы A. Объясните, как полученный результат связан с геометрическим действием оператора Â.

Задача 5.
1) Доказать, что оператор  является линейным оператором в пространстве P_n многочленов степени не выше n.
2) Найти матрицу оператора  в каноническом базисе P_n.
3) Существует ли обратный оператор Â^-1 ? Если да, найти его матрицу.
4) Найти образ, ядро, ранг и дефект оператора Â.

Задача 6. Оператор  действует на матрицы, образующие линейное подпространство M в пространстве матриц второго порядка.
1) Доказать, что  – линейный оператор в M.
2) Найти матрицу оператора  в каком-нибудь базисе M.
3) Найти образ, ядро, ранг и дефект оператора Â.
4) Найти собственные значения и собственные векторы оператора  (напомним, что в этой задаче векторами являются матрицы).
5) Доказать, что оператор  является оператором простого типа. Выписать матрицу оператора  в собственном базисе.

Задача 7. В пространстве V³ геометрических векторов с обычным скалярным произведением векторы базиса  заданы координатами в каноническом базисе .
1) Найти матрицу Грама G_S скалярного произведения в этом базисе. Выписать формулу для длины вектора через его координаты в базисе S.
2) Ортогонализовать базис S. Сделать проверку ортонормированности построенного базиса P двумя способами:
а) выписав координаты векторов из P в базисе ;
б) убедившись, что преобразование матрицы Грама при переходе от базиса S к базису P (по формуле G_P=G^T·G_S·C) приводит к единичной матрице.

Задача 8. Дана квадратичная форма .
1) Привести  к каноническому виду методом Лагранжа. Записать соответствующее преобразование переменных.
2) Привести  к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования, выписать матрицу перехода.
3) Убедиться в справедливости закона инерции квадратичных форм на примере преобразований, полученных в пунктах 1 и 2.
4) Поверхность второго порядка σ задана в прямоугольной декартовой системе координат уравнением . Определить тип поверхности σ и написать ее каноническое уравнение.

МатМозг 10 июля, 2017

Posted In: Алгебра, Геометрия, Линейная алгебра, Математика, МГТУ МИРЭА, Платные работы, Типовой расчет

Метки: Кибернетика