Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
I курс
Контрольные задания для студентов факультета Кибернетики
Типовой расчёт №2
Вариант 14
Уменьшенную копию первой и последней страниц решения можно посмотреть ниже:
Список решенных вариантов типового расчета №2, Алгебра и геометрия, 1 курс для студентов факультета Кибернетики, МИРЭА вы можете посмотреть тут.
МатМозг 10 июля, 2017
Posted In: Алгебра, Геометрия, Линейная алгебра, Математика, МГТУ МИРЭА, Платные работы, Типовой расчет
Метки: Вариант 14, Кибернетика
Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
I курс
Контрольные задания для студентов факультета Кибернетики
Типовой расчёт №2
Список решенных вариантов данного задания вы можете посмотреть ниже:
Задание:
Задача 1. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы уравнений.
Задача 2. Найти общее решение в зависимости от значения параметра λ. При каких значениях λ система допускает решение с помощью обратной матрицы?
Задача 3. Линейный оператор Â: V3→V3 определяется действием отображения α на концы радиус-векторов точек трехмерного пространства.
1) Найти матрицу оператора Â в подходящем базисе пространства V3, а затем в каноническом базисе .
2) Определить, в какую точку переходят точки с координатами и под действием отображения (1, 0, 0) и (-1, 2, 1) под действием отображения α.
Задача 4. Пусть A – матрица оператора Â из задачи 3 в каноническом базисе . Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы A. Объясните, как полученный результат связан с геометрическим действием оператора Â.
Задача 5.
1) Доказать, что оператор Â является линейным оператором в пространстве Pn многочленов степени не выше n.
2) Найти матрицу оператора Â в каноническом базисе Pn.
3) Существует ли обратный оператор Â-1 ? Если да, найти его матрицу.
4) Найти образ, ядро, ранг и дефект оператора Â.
Задача 6. Оператор Â действует на матрицы, образующие линейное подпространство M в пространстве матриц второго порядка.
1) Доказать, что Â – линейный оператор в M.
2) Найти матрицу оператора Â в каком-нибудь базисе M.
3) Найти образ, ядро, ранг и дефект оператора Â.
4) Найти собственные значения и собственные векторы оператора Â (напомним, что в этой задаче векторами являются матрицы).
5) Доказать, что оператор Â является оператором простого типа. Выписать матрицу оператора Â в собственном базисе.
Задача 7. В пространстве V3 геометрических векторов с обычным скалярным произведением векторы базиса заданы координатами в каноническом базисе .
1) Найти матрицу Грама GS скалярного произведения в этом базисе. Выписать формулу для длины вектора через его координаты в базисе S.
2) Ортогонализовать базис S. Сделать проверку ортонормированности построенного базиса P двумя способами:
а) выписав координаты векторов из P в базисе ;
б) убедившись, что преобразование матрицы Грама при переходе от базиса S к базису P (по формуле GP=GT·GS·C) приводит к единичной матрице.
Задача 8. Дана квадратичная форма .
1) Привести к каноническому виду методом Лагранжа. Записать соответствующее преобразование переменных.
2) Привести к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования, выписать матрицу перехода.
3) Убедиться в справедливости закона инерции квадратичных форм на примере преобразований, полученных в пунктах 1 и 2.
4) Поверхность второго порядка σ задана в прямоугольной декартовой системе координат уравнением . Определить тип поверхности σ и написать ее каноническое уравнение.
МатМозг 10 июля, 2017
Posted In: Алгебра, Геометрия, Линейная алгебра, Математика, МГТУ МИРЭА, Платные работы, Типовой расчет
Метки: Кибернетика